Comment modéliser des milieux optiques anisotropes avec COMSOL Multiphysics^®

Au cours d’un après-midi ensoleillé de 1669, le professeur Rasmus Bartholin regarda à travers un morceau de cristal de calcite islandaise qu’il avait placée sur un banc. Il observa que lorsqu’il couvrait un texte sur le banc avec cette pierre, il apparaissait comme dédoublé. Le phénomène optique observé, appelé biréfringence, implique un faisceau lumineux divisé en deux faisceaux parallèles en sortie du cristal. Ce blog illustre une approche de modélisation pour cet effet.

Comprendre les matériaux anisotropes

Le faisceau de lumière ayant traversé le cristal directement, sans modification, observé par Rasmus Bartholin, est appelé un rayon ordinaire. L’autre faisceau lumineux, qui se courbe en traversant le cristal, est un rayon extraordinaire. Les matériaux anisotropes, tels que le cristal de l’expérience de la pierre et du banc décrite plus haut, sont présents dans des applications allant de la détection de gaz dangereux à la division de faisceaux dans des circuits intégrés photoniques.

Rayons ordinaires et extraordinaires traversant un cristal anisotrope.

Dans un contexte physique, lorsqu’un faisceau électromagnétique de lumière non polarisée traverse un matériau diélectrique anisotrope, il polarise le domaine diélectrique, produisant une répartition des charges appelée dipôle électrique. Ce phénomène produit des champs induits dans le matériau diélectrique anisotrope, dans lequel deux types d’ondes sont soumises à deux indices de réfraction différents (ordinaire et extraordinaire).

L’onde ordinaire est polarisée perpendiculairement au plan principal et l’onde extraordinaire est polarisée parallèlement au plan principal, celui-ci étant traversé par l’axe optique et les deux directions de propagation du cristal. Du fait de ce comportement, les ondes se propagent à des vitesses et avec des trajectoires différentes.

Introduction à l’anisotropie dans les guides d’ondes en silicium

Dans un article de blog précédent, nous avons évoqué le silicium et comment son dérivé, le dioxyde de silicium, est largement utilisé dans les puces photoniques intégrées du fait de sa compatibilité avec le procédé de fabrication CMOS. Le silicium brut, qui a des propriétés isotropes, est utilisé pour développer des prototypes de puces photoniques intégrées. Cependant, du fait de ses propriétés optiques uniques telles que la séparation des faisceaux et les effets optiques basés sur la polarisation, l’anisotropie intervient par la suite.

L’anisotropie dans la photonique sur silicium se produit involontairement du fait du recuit au cours de la fabrication du guide d’onde. L’écart de dilatation thermique entre le coeur et la gaine entraîne un décalage de la géométrie liée à la photoélasticité, ce qui produit des effets tels que la division modale et l’amplification de l’impulsion. L’anisotropie peut aussi être volontairement introduite en faisant varier la porosité du dioxyde de silicium. Cela permet aux chercheurs de travailler avec une gamme d’indices de réfraction effectifs allant du dioxyde de silicium (n ~1.44) à l’air (n ~1), leur permettant de développer des applications de capteurs optiques très sensibles.

Modes de propagation optiques

Pour analyser des milieux anisotropes de façon qualitative, les chercheurs regardent comment l’énergie optique se propage dans les guides d’ondes planaires (appelé modes de propagation). Dans les guides d’ondes planaires, on définit les modes en utilisant la notation E^{x}_{p,q} et E^{y}_{p,q} (Ref. 2), où x et y représentent la direction de polarisation et p et q représentent le nombre de sommets dans les coordonnées x et y.

Imaginez: vous vous baladez sur un “paysage” E^{x}_{2,1} (visible ci-dessous). Les “vents” (polarisation) soufflent dans la direction ±x, et vous rencontrez deux pics différents en vous déplaçant de la direction –x à +x. Lorsque vous vous déplacez de la direction –y à +y vous observez les deux pics simultanément.

Analyse modale d’un guide d’onde planaire. Première ligne, de gauche à droite: E^{x}_{1,1} et E^{y}_{1,1}. Ligne centrale, de gauche à droite: E^{x}_{1,2} et E^{y}_{1,2}. Ligne du bas, de gauche à droite: E^{x}_{2,1} et E^{y}_{2,1}. Le graphique de flèches représente le champ électrique; les graphiques d’isovaleurs et de surface représentent le flux d’énergie hors–plan (rouge pour une grande amplitude et bleu pour une faible amplitude).

Analyser des structures anisotropes dans COMSOL Multiphysics^®

Avant de lancer un faisceau lumineux à travers un guide d’onde en utilisant une source laser, il est important de savoir quels modes optiques pourraient persister à l’intérieur d’une dimension spécifiée du coeur/gaine du guide d’onde. Réaliser une analyse modale en utilisant un outil d’éléments finis vectoriels complet tel que COMSOL Multiphysics^® peut être d’une grande utilité pour des analyses qualitative et quantitative des modes optiques et des courbes de dispersion, respectivement.

Présentation de l’anisotropie diagonale

La réalisation d’une analyse modale pour un matériau isotrope nécessite de définir une seule valeur complexe, tandis que dans le cas d’un matériau anisotrope c’est tout un tenseur de permittivité relative qui est nécessaire. La permittivité électrique relie essentiellement le champ électrique aux propriétés matériau. Ici, tenseur désigne une matrice 3-par-3 ayant à la fois des termes diagonaux (\epsilon_xx, \epsilon_yy, \epsilon_zz) et extra-diagonaux (\epsilon_xy, \epsilon_xz, \epsilon_yx, \epsilon_yz, \epsilon_zx, \epsilon_zy) comme ci-dessous.

Cependant, pour tous les matériaux, il est possible de trouver un système de coordonnées dans lequel seuls les termes diagonaux sont non nuls, tandis que les termes extra-diagonaux sont tous nuls. Les trois axes de ce système de coordonnées pivoté sont les axes principaux du matériau, et, respectivement, les valeurs des trois éléments diagonaux du tenseur de permittivité sont appelées les permittivités principales du matériau.

Il y a deux types de cristaux anisotropes: les cristaux uniaxes et biaxes. Avec un système de coordonnées adapté, dans lequel seuls les termes diagonaux du tenseur de permittivité sont non nuls, en termes de propriétés optiques, un cristal uniaxe ne prend en compte que les termes diagonaux, soit \epsilon_xx = \epsilon_yy = (n_o)², \epsilon_zz = (n_e)², où n_o et n_e sont les indices de réfraction ordinaire et extraordinaire. Si \epsilon_{xx}\neq \epsilon_{yy} \neq \epsilon_{zz}, le cristal est dit biaxe.

Pour présenter cela d’un point de vue de la modélisation, on peut étendre le modèle de guide d’onde enterré à nervures présenté dans l’article de blog sur la conception de photonique sur silicium. On peut réaliser une analyse modale sur la section 2D du guide d’onde avec le coeur carré et la gaine de longueurs 4 um et 20 um respectivement (présenté ci-dessous). La longueur d’onde optique utilisée dans l’ensemble des cas étudiés est de 1.55[um].

Schéma d’un guide d’onde optique enterré pour lequel une analyse modale est réalisée sur la section 2D d’entrée. Le graphique d’intensité et le graphique de flèches représentent le mode et la polarisation du champ E, respectivement.

Coeur du guide d’onde enterré représentant l’axe optique (rouge) le long de l’axe x et l’axe principal (bleu).

Dans le cas classique d’un matériau uniaxe, on considère que l’axe optique (i.e., l’axe c) est aligné avec l’axe principal x (comme montré ci-dessus), et les termes diagonaux \epsilon_yy et \epsilon_zz de la permittivité relative (qui sont orthogonaux à l’axe c) comme étant le carré de l’indice de réfraction ordinaire (~1.5199² ~ 2.31). La composante \epsilon_xx, orientée selon l’axe c, est considérée comme étant le carré de l’indice de réfraction extraordinaire (~1.4799² ~ 2.19) (selon Ref. 3). Les termes extra-diagonaux sont en outre considérés nuls (comme montré ci-dessous) et la gaine comme ayant une permittivité relative isotrope (~1.4318²). Les modes optiques dérivés sont les 6 modes présentés ci-dessus. Notez la différence des indices de réfraction: “n_xx – n_yy” est appelé biréfringence, où n_xx = \sqrt{\epsilon_{xx}} et n_yy = \sqrt{\epsilon_{yy}}.

Tenseur de permittivité relative avec les termes diagonaux.

Courbes de dispersion

Evaluer les modes optiques permet de comprendre visuellement le fonctionnement du guide d’onde optique. Les courbes de dispersion sont cependant utiles pour réaliser des analyses quantitatives. Une courbe de dispersion représente la variation d’indice de réfraction effectif en fonction de la longueur du guide d’onde à une fréquence de fonctionnement donnée.

Anisotropie diagonale

Une analyse modale est réalisée en même temps qu’un balayage paramétrique sur la longueur du guide d’onde, de 0.5 um à 4 um, pour en déduire la courbe de dispersion du coeur anisotrope, comme présenté sur la figure ci-dessous. On se place dans le même cas que précédemment, le coeur ayant des termes diagonaux anisotropes (i.e., \epsilon_xx = 2.19, \epsilon_yy = \epsilon_zz = 2.31 et tous les éléments extra-diagonaux sont nuls). Les résultats obtenus sont comparés avec Koshiba et al. (Ref. 3).

Courbe de dispersion d’un coeur anisotrope transverse.

Anisotropie transverse extra-diagonale (plan XY)

Lorsque l’axe optique (i.e., l’axe c) se trouve dans le plan XY et forme un angle \thetaavec l’axe x, les termes diagonaux \epsilon_xx, \epsilon_yy, \epsilon_zz et les termes extra-diagonaux \epsilon_xy et \epsilon_yz sont non nuls, tandis que les autres termes sont nuls. Le tenseur de permittivité relative complet pourrait être évalué en utilisant la matrice de rotation [R] visible ci-dessous, où la matrice de rotation [R] est dédiée à la rotation de l’axe c dans le plan XY. \epsilon_xx est le carré de l’indice de réfraction extraordinaire (~2.19), car l’axe c est aligné avec l’axe principal x, tandis que \epsilon_yy et \epsilon_zz sont les carrés de l’indice de réfraction ordinaire (~2.31). Les termes extra-diagonaux \epsilon_xy et \epsilon_yz sont déduits des multiplications des matrices comme évoqué ci-dessous.

L’axe c, est situé dans le plan XY et forme un angle \theta avec l’axe x.

Le tenseur de la permittivité relative ε est traité avec une matrice de rotation, en faisant pivoter l’axe c dans le plan XY d’un angle \theta.

Enfin, l’analyse modale du guide d’onde avec le coeur ayant des termes extra-diagonaux anisotropes et la gaine isotrope, où les axes optiques forment un angle de 0, 15, 30 et 45 degrés avec l’axe x principal, sont affichés ci-dessous. On peut observer ici, que la direction du champ magnétique dans le plan varie selon la variation de l’angle de l’axe optique. La courbe de dispersion peut également être tracée en effectuant un balayage paramétrique sur la longueur du coeur et de la gaine de 0.5 um à 4 um, tout en prenant un angle \theta de 45°. La courbe de dispersion tend à être similaire à la courbe de dispersion de l’anisotropie diagonale discutée plus haut.

Analyse modale, incluant les termes extra-diagonaux, pour θ = 0° (en haut à gauche), θ = 15° (en haut à droite), θ = 30° (en bas à gauche), and θ = 45° (en bas à droite). L’image représente les lignes du champ magnétique au sein du coeur pour différents angles de rotation.

Anisotropie longitudinale extra-diagonale (plan YZ)

Pour finir, lorsque l’on considère l’anisotropie longitudinale avec l’axe optique (i.e., l’axe c) dans le plan YZ et formant un angle \phi avec l’axe y, les termes diagonaux \epsilon_xx, \epsilon_yy, \epsilon_zz et les termes extra-diagonaux \epsilon_yz et \epsilon_zy sont non nuls, tandis que le reste des composants est nul. Le tenseur de permittivité relative peut être évalué en utilisant la matrice de rotation [R] comme ci-dessous, où la matrice [R] est dédiée à la rotation de l’axe cdans le plan YZ. \epsilon_yy est le carré de l’indice de réfraction extraordinaire (~2.19), car l’axe c est aligné avec l’axe principal y, tandis que \epsilon_xx, \epsilon_zz sont le carré de l’indice de réfraction ordinaire (~2.31). Les termes extra-diagonaux \epsilon_yz et \epsilon_zy sont déduits de la multiplication des matrices comme montré ci-dessous.

L’axe c est situé dans le plan YZ et forme un angle \phi avec l’axe x.

Le tenseur de permittivité relative ε est traité avec une matrice de rotation, pivotant dans le plan YZ d’un angle \phi.

Une analyse modale est ensuite réalisée avec un balayage paramétrique sur la longueur du guide d’onde de 0.5 um à 4 um afin d’extraire la courbe de dispersion du coeur anisotrope longitudinal, comme montré dans la figure ci-dessous. Dans ce cas, \phi = 45° (i.e., l’axe c se trouve dans le plan YZ et forme un angle de 45° avec l’axe y) (Ref. 3).

Courbe de dispersion avec un coeur anisotrope longitudinal.

Conclusions sur la modélisation des matériaux anisotropes

Dans cet article de blog, nous avons réalisé des analyses qualitatives (modes de propagation) et quantitatives (courbes de dispersion) de guides d’ondes optiques anisotropes en utilisant l’analyse modale dans COMSOL Multiphysics^®. L’anisotropie diagonale comme l’anisotropie extra-diagonale transverse et longitudinale ont été considérées afin d’extraire leurs relations de dispersion. Ce type d’analyse nous donne plus de flexibilité lorsque l’on optimise un matériau et des paramètres géométriques et nous permet de comprendre plus finement et plus intuitivement la physique des matériaux anisotropes.

Un tutoriel simple pour démarrer est celui de Fibre à gradient d’indice, dans lequel une analyse modale est conduite sur la section 2D d’une fibre optique 3D.

Etapes suivantes

Pour tester ces tutoriels, vous pouvez cliquer sur les boutons ci-dessous.

Liste mise à jour des articles de blog de la série photonique sur silicium

• Partie 1: Silicon Photonics: Designing and Prototyping Silicon Waveguides

Références

1. E. Hecht, Optics, Pearson.
2. E.A.J. Marcatili, “Dielectric rectangular waveguide and directional coupler for integrated optics”, Bell Syst. Tech. J., vol. 48, pp. 2071–2102, 1969.
3. M. Koshiba, K. Hayata, and M. Suzuki, “Finite-element solution of anisotropic waveguides with arbitrary tensor permittivity,” Journal of Lightwave Technology, vol. 4, no. 2, pp. 121–126, 1986.