Calcul du coefficient de transfert de chaleur pour les plaques planes et ondulées

Dans de nombreuses applications d’ingénierie impliquant du transfert de chaleur conjugué (impliquant fluide et solide), par exemple pour la conception d’échangeurs de chaleur ou de dissipateurs thermiques, il est important de calculer des coefficients de transfert thermique. Souvent déterminés à l’aide de corrélations et de relations empiriques, le coefficient de transfert thermique fournit des informations sur le transfert de chaleur entre les solides et les fluides. Dans ce billet de blog, nous discutons et montrons comment le logiciel COMSOL Multiphysics^® peut être utilisé pour évaluer ces coefficients de transfert thermique pour différentes géométries de plaques.

Qu’est-ce que le coefficient de transfert thermique ?

Considérons une paroi ou une surface chauffée sur laquelle s’écoule un fluide. Le transfert de chaleur dans le fluide est principalement régi par la convection. De même, la convection est le principal mode de transport de chaleur dans le cas du transfert de chaleur entre deux fluides (à travers une surface solide), comme dans le cas des échangeurs de chaleur. La vitesse à laquelle se produit le transfert de chaleur dans les deux cas est régie par une différence de température et un coefficient de proportionnalité appelé coefficient de transfert thermique. Le coefficient de transfert thermique indique l’efficacité du taux de transport de la chaleur vers le fluide sur la surface d’un solide.

Mathématiquement, h est le rapport entre le flux de chaleur à la paroi et la différence de température entre la paroi et le fluide ; c’est-à-dire,

(1)

où q^{\prime \prime} est le flux de chaleur, T_w est la température de la paroi et T_\infty est la température caractéristique du fluide.

La température caractéristique du fluide peut aussi être la température extérieure loin de la paroi, ou la température apparente dans des tubes.

Lorsque l’objet est entouré d’un volume d’air infiniment grand, on suppose que la température de l’air loin de l’objet possède une valeur constante et connue. Le coefficient de transfert thermique évalué dans ce cas est appelé coefficient de transfert thermique externe.

Avec l’hypothèse ci-dessus, si nous regardons de plus près la paroi (si l’épaisseur de la paroi est définie à travers la direction y et que y = 0 représente la surface/le plan de la paroi), il est clair que la condition de Non glissement au niveau de la paroi entraîne la formation d’un film mince et stagnant de fluide. Par conséquent, le transfert de chaleur à travers le fluide immédiatement adjacent à la paroi est purement dû à la conduction.

On peut l’écrire mathématiquement (Ref. 1) comme suit :

(2)

Ici, k est la conductivité thermique du fluide, avec la dérivée de T qui est évaluée dans le fluide.

En combinant les équations (1) et (2), le coefficient de transfert thermique peut être calculé comme suit :

(3)

Calculer le coefficient de transfert thermique dans COMSOL Multiphysics^®

En pratique, la mesure du gradient de température au niveau de la paroi est un exercice très difficile. Il est également essentiel d’adopter une approche intelligente et économe en calcul pour comprendre le transfert thermique au niveau de la paroi. Par conséquent, les méthodes non analytiques de calcul du coefficient de transfert de chaleur sont généralement préférées.

Une approche courante consiste à utiliser des corrélations convectives définies par le nombre adimensionnel de Nusselt. Ces corrélations sont disponibles pour différents cas, incluant la convection naturelle et forcée ainsi que les écoulements internes et externes, et donnent des résultats rapides. Cependant, cette approche ne convient généralement que pour des formes géométriques régulières, telles que les parois horizontales et verticales, les cylindres et les sphères.

Lorsque des formes plus complexes sont impliquées, le coefficient de transfert de chaleur peut être calculé par simulation des phénomènes de transfert de chaleur conjugués.

Examinons maintenant deux cas et approches différents :

1. Calculer le coefficient de transfert de chaleur dans des géométries standard (comme une plaque horizontale) en utilisant :
   • Analyse de transfert de chaleur conjugué
   • Corrélations convectives, c’est-à-dire sans tenir compte de l’écoulement
2. Calculer le coefficient de transfert de chaleur dans des géométries non-standard/complexes (comme une plaque ondulée)

Notez que le régime d’écoulement doit entrer en considération car le coefficient de transfert de chaleur dépend de la vitesse. Dans les deux cas, une condition pragmatique, telle qu’un écoulement rapide dans un système de soufflage ou un dispositif de refroidissement de puce électronique, doit être considérée. Cela indique qu’il est nécessaire de modéliser le cas d’un écoulement turbulent couplé à un transport de chaleur.

Exemple 1 : Convection forcée et écoulement le long d’une plaque horizontale

Considérons la situation de la modélisation de l’écoulement le long d’une plaque plate horizontale de 5 m de long qui est soumise à un flux de chaleur constant et homogène de 10 W/m. La plaque est placée dans un écoulement d’air de vitesse moyenne de 0.5 m/s et une température de 283 K. La figure ci-dessous schématise la définition du problème, y compris les profils de vitesse et de température pour un écoulement laminaire à l’intérieur la couche limite dynamique (nommée \delta ) et la couche limite thermique (\delta {T}), respectivement.

Schémas d’un écoulement laminaire (en haut) et d’un écoulement turbulent (en bas) le long d’une plaque horizontale.

Analyse du transfert de chaleur conjugué

La solution numérique est obtenue dans COMSOL Multiphysics^® en utilisant l’interface Transfert de chaleur conjugué fluide-solide, qui couple les phénomènes d’écoulement de fluide et de transfert de chaleur. Le champ de vitesse et la pression sont calculés dans le domaine d’air, tandis que la température est calculée à la fois dans la plaque et dans le domaine d’air.

La distribution de température à l’intérieur de la plaque et du fluide est représentée sur la figure ci-dessous. Les couches limites thermique et de quantité de mouvement formées à l’intérieur du domaine du fluide sont visibles dans la région qui va de la paroi à 2 cm au-dessus de la plaque.

Distribution de température (graphique de surface), isotherme à 11°C (ligne rouge) et champ de vitesse (flèches) illustrant les couches limites thermique et dynamique au voisinage de la surface de la plaque (échelle des axes anisotrope).

À partir des résultats de la simulation, il est possible d’évaluer le flux de chaleur en utilisant la variable de post-traitement prédéfinie correspondante. En le divisant par la différence de température (T_w-T_\infty), on obtient le coefficient de transfert thermique (Eq. 3). Le coefficient de transfert thermique le long de la plaque obtenu à l’aide de l’analyse en transfert de chaleur conjugué est reporté sur un graphique dans la section suivante.

Coefficient de transfert de chaleur basé sur les corrélations du nombre de Nusselt

La corrélation du nombre de Nusselt pour la convection forcée le long d’une plaque plane est disponible dans la littérature (Ref. 1, par exemple).

Dans cette deuxième approche, le même modèle est résolu sans tenir compte de l’écoulement, c’est-à-dire en utilisant les corrélations de transfert thermique. Le domaine de calcul est limité au solide (plaque). La perte de chaleur de la plaque chaude vers le fluide froid est définie à l’aide d’une condition limite de Flux de chaleur. Cette condition limite contient une option permettant de définir le coefficient de transfert thermique à l’aide de corrélations prédéfinies liées au nombre de Nusselt, comme illustré ci-dessous. Notez que ces corrélations sont prédéfinies dans COMSOL Multiphysics^®.

Réglages de la condition limite Flux de chaleur .

En utilisant uniquement cette approche, la distribution de la température dans la plaque est calculée. À partir du coefficient de transfert de chaleur défini dans la condition aux limites Flux de chaleur, il est possible d’évaluer le flux de chaleur à la surface de la plaque, q=h\cdot(T_\infty-T).

Evaluation du coefficient de transfert de chaleur

Pour les deux approches décrites ci-dessus, il est possible d’évaluer le coefficient de transfert de chaleur le long de la plaque. La figure ci-dessous compare le flux de chaleur estimé par les deux approches.

Comparaison du coefficient de transfert thermique le long de la plaque plane estimé à l’aide d’une simulation de transfert de chaleur conjugué (ligne bleue) et d’une corrélation de Nusselt (ligne verte).

Nous pouvons voir que la valeur obtenue à partir de la corrélation du nombre de Nusselt est en très bon accord avec la valeur obtenue à partir de la simulation complète du transfert de chaleur conjugué.

Les quantités d’intérêt sont les flux de chaleur sur la plaque qui sont obtenus dans les deux cas :

1. Corrélation du nombre de Nusselt : 50 W/m
2. Transfert de chaleur conjugué : 49.884 W/m

Pour certains calculs, l’approche basée sur les corrélations du nombre de Nusselt est capable de prédire le flux de chaleur avec une assez bonne précision. Ensuite, nous examinons un cas avec une forme moins commune, où les corrélations du nombre de Nusselt ne sont pas facilement disponibles, et la seule approche possible consiste à effectuer une simulation de transfert de chaleur conjugué.

Exemple 2 : Écoulement le long d’une plaque horizontale ondulée

Considérons une configuration similaire à celle du premier cas, sauf que la plaque a une surface supérieure ondulée. La figure ci-dessous montre un schéma de la définition du problème. Dans ce modèle, les ondulations de la plaque supérieure sont considérées dans une section de la géométrie. Le reste de la plaque est plat.

Schéma de l’écoulement le long d’une plaque horizontale.

Ici, l’écoulement près de la paroi présente des zones de recirculation qui améliorent le taux de transfert de chaleur. Sur l’image ci-dessous, nous pouvons observer la distribution de la température et les lignes de courant de la vitesse.

Distribution de la température en degrés Celsius (surface) et champ de vitesse (lignes de courant).

Le graphique de gauche ci-dessous montre le coefficient de transfert de chaleur sur la longueur de la plaque ondulée. Avec une géométrie telle que celle-ci, le coefficient de transfert thermique dépend des champs de température et de vitesse et des paramètres géométriques des ondulations, par exemple leur hauteur. Nous constatons l’amélioration importante du coefficient de transfert thermique par rapport à la plaque plane sur l’image de droite ci-dessous.

Coefficient de transfert de chaleur le long de la plaque ondulée (à gauche) et le long de la plaque plane (à droite).

Lorsque l’on considère des géométries complexes contenant des surfaces ondulées, l’approche par transfert de chaleur conjugué peut s’avérer coûteuse en termes de calcul, et d’autres approches sont souhaitables. Une bonne approximation cosnisterait à réduire la complexité géométrique en représentant les surfaces comme non ondulées et en extrapolant le coefficient de transfert thermique calculé sur un échantillon représentatif de la géométrie, comme celui ci-dessus, en considérant les paramètres géométriques tels que la hauteur de l’ondulation, le champ de vitesse de l’écoulement et les variations de température sur la surface. Il est intéressant de noter que si la température n’est pas vraiment isotherme ou s’il n’y a pas de flux thermique constant, l’approche du coefficient de transfert thermique reste intéressante dans une gamme donnée pour certaines géométries tant que la configuration n’est pas trop éloignée de celle du cas d’étude initial.

Pour vérifier, nous pouvons considérer un cas simple dans lequel les coefficients de transfert thermique sont calculés à travers le champ de vitesse dans la géométrie de la plaque ondulée. Les données peuvent être utilisées pour obtenir un coefficient de transfert de chaleur moyen et peuvent être extrapolées au modèle de géométrie de plaque plane. La perte de chaleur totale de la surface, ou le coefficient de transfert de chaleur obtenu à partir des simulations d’écoulement, peuvent être étudiés pour comprendre la validité des approximations.

Réflexions en conclusion

Dans ce billet de blog, nous avons vu comment calculer le coefficient de transfert thermique à l’aide de deux méthodes. Avec la méthode du transfert de chaleur conjugué, vous pouvez utiliser les variables de flux thermique intégrées disponibles dans COMSOL Multiphysics^®. En utilisant la condition limite de Flux de chaleur avec les corrélations en fonction du nombre de Nusselt, vous pouvez simuler des problèmes impliquant des formes simples. Nous avons également abordé la manière de réduire la complexité géométrique pour obtenir le coefficient de transfert de chaleur pour des géométries plus complexes.

Prochaines étapes

Pour en savoir plus sur les fonctions spécialisées de modélisation du transfert de chaleur dans le logiciel COMSOL^®, cliquez sur le bouton ci-dessous.

Essayez les approches présentées ici dans les tutoriels suivants :

• Natural Convection Cooling of a Vacuum Flask
• Nonisothermal Turbulent Flow Over a Flat Plate
• Nonisothermal Laminar Flow in a Circular Tube

Référence

1. A. Bejan et al., Heat Transfer Handbook, John Wiley & Sons, 2003.